Ответы на олимпиаду по математике для 10-11 классов за 13 октября 2026 года
В данном материале мы предлагаем вашему вниманию ответы на олимпиаду по математике для 10-11 классов за 13 октября 2026 года. Ответы предлагаются в ознакомительных целях.
Ответы на олимпиаду по математике для 10-11 классов за 13 октября 2026 года
Ответы собраны ниже:
1. На рисунке изображён график функции y = −a − |kx + b|.
Выберите те утверждения, которые могут быть верны:
Ответ: a < 0, k < 0, b < 0; a < 0, k > 0, b > 0
2. Числа a, b, c образуют арифметическую прогрессию (в таком порядке), числа b, c, 8 — геометрическую прогрессию (в таком порядке), и при этом a + b + c = 54.
Какие значения может принимать b? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в ботдельное поле, добавляя их при необходимости.
Какие значения может принимать a? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Ответ: b = 18; a = 24, 48
3. На окружности отмечены 18 точек. Они пронумерованы по часовой стрелке последовательно целыми числами от 1 до 18. Какова вероятность, что у случайно выбранного треугольника с вершинами в этих точках все вершины будут одной чётности?
Ответ: 7/34
4. Найдите все натуральные числа n, для которых оба числа n + 5 и n + 32 являются точными квадратами. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Ответ: 4; 164
5. В треугольнике ABC со сторонами AB = 5 и AC = 6 провели биссектрису AD. Прямая, проходящая через точку D перпендикулярно этой биссектрисе, пересекает прямые AB и AC в точках F и E соответственно. Найдите EC − FB.
Ответ: 1/11
6. При каком наименьшем натуральном n выполняется неравенство
sin((n² + 7n)°) · cos((n² + 7n)°) < 0?
Ответ: 7
7. Последовательность задана условиями a₁ = 1, aₙ₊₁ = aₙ/(1 + 3aₙ) для всех натуральных n. Найдите a₁₅₀.
Ответ: 1/448
8. Пять различных натуральных чисел имеют среднее арифметическое 20, а их медиана равна 23. Найдите наибольшее возможное значение наибольшего из этих пяти чисел.
Ответ: 50
9. Основание ABCD четырёхугольной пирамиды SABCD — квадрат со стороной 4, а SC = 2 — её высота. Точка P лежит на прямой AS. Найдите наименьшее возможное значение площади треугольника BDP.
Ответ: 8/3
10. Для каких натуральных значений m уравнение x² − (m + 6)x + 4m = 0 имеет два различных натуральных корня? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Ответ: 4; 9
11. На доске нарисован клетчатый прямоугольник 2 × 80. Будем считать две клетки соседними, если они имеют общую сторону. Сколькими способами можно закрасить ровно 79 клеток так, чтобы среди них не было соседних?
Ответ: 316
